ECUAȚII IRAȚIONALE
BREVIAR TEORETIC
1. Definiție
Se numește ecuație irațională ecuația în care necunoscuta $x$ apare sub simbolul radicalului.
2. Etapele rezolvării
Condiții de existență:
Dacă radicalul este de ordin par ($\sqrt{f(x)}$), se impune condiția:
$$f(x) \ge 0$$Dacă avem forma $\sqrt{f(x)} = g(x)$, se impune și condiția de semn pentru rezultat:
$$g(x) \ge 0$$
Eliminarea radicalilor: Se realizează prin ridicarea ambilor membri ai ecuației la puterea corespunzătoare ordinului radicalului (pătrat pentru ordinul 2, cub pentru ordinul 3).
Verificarea soluțiilor: Este o etapă obligatorie. Valorile obținute se verifică fie în condițiile de existență, fie prin înlocuire directă în ecuația inițială pentru a elimina eventualele „soluții străine”.
EXERCIȚII PROPUSE
- $$\sqrt{3x + 1} = 5$$
- $$\sqrt{x^2 – 5x + 10} = x – 2$$
- $$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x – 1} = 3$$
- $$\sqrt[3]{x^3 + 7x^2 – 1} = x + 1$$
- $$\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{x – 2}} = 2$$
ECUAȚII LOGARITMICE
BREVIAR TEORETIC
La orice ecuație logaritmică trebuie puse condiții de existență a logaritmilor
- baza mai mare ca 0 și diferită de 1
- argumentul mai mare ca 0
Rezolvați ecuațiile
1. $\log_2(3x – 1) = \log_2(x + 5)$
2. $\log_3(2x – 1) = 2$
3. $\log_2(x) = \log_4(x + 6)$
4. $2\log_5(x) = \log_5(4x – 3)$
5. $\log_2(x) + \log_2(x – 2) = 1 + \log_2(x – 1)$
6. $\log_{x-1}(4) = 2$
7. $\log_2^2 x – 3\log_2 x + 2 = 0$
8. $\log_3^2 (x^2) – 3\log_3 x – 1 = 0$
9. $\log_2^2 (4x) – \log_2 (x^4) = 8$
10. $\log_2 x + \log_x 2 = 2,5$
11. $\log_5 \sqrt{x^2 – 9} = 1$
12. $3^{\log_2 x} = 4x$
13. $\lg(x + 3) + \lg(x) = 1$
14. $\ln(x^2 – 1) – \ln(x + 1) = \ln(2)$
ECUAȚII EXPONENȚIALE
BREVIAR TEORETIC
Exponențiala are mereu baza pozitivă și ea este mereu pozitivă
$3^x = -1$
$3^{2x-3} = -9$
$3^x = 0$
$3^{2x-3} = 0$
$3^x = 1$
$3^{2x-3} = 1$
$3^x = 27$
$3^{2x-3} = 27$
$3^x = \frac{1}{9}$
$3^{2x-3} = \frac{1}{9}$
$3^x = 5$
$3^{2x-3} = 5$
$9^x = 27$
$9^{2x-3} = 27$
$0,25^x = 0,125$
$3^x = 2^x$
$3^{2x-3} = 2^{2x-3}$
$3^{2x-3} = 3^{4x+1}$
$3^{x+1} = 5^x$
$3^x + 3^{x+1} + 3^{x+3} = 279$
$4^x – 3 \cdot 2^x + 2 = 0$
$4^{x-1} – 5 \cdot 2^{x-2} + 1 = 0$
$2^x + 2^{2-x} = 5$
$9^x – 5 \cdot 6^x + 6 \cdot 4^x = 0$
$(\sqrt{2} – 1)^x + (\sqrt{2} + 1)^x = 6$