TRIUNGHIURI ASEMENEA

1. Definiția asemănării

Două triunghiuri $△ABC$ și △A′B′C′ sunt asemenea (notăm △ABC∼△A′B′C′) dacă:

1. Au toate unghiurile corespondente congruente: ∠A≡∠A′,∠B≡∠B′,∠C≡∠C′

2. Au laturile corespondente proporționale:

   A′B′AB​=B′C′BC​=A′C′AC​=k

• Unde $k$ se numește raport de asemănare.

2. Teorema Fundamentală a Asemănării (TFA)

O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi

determină, cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile lor), un triunghi asemenea cu cel dat.

Dacă în $△ABC$ avem $DE\parallel BC$ ($D\in AB,E\in AC$), atunci:

Din TFA rezultă șirul de rapoarte:

3. Cazurile de asemănare

Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea, nu trebuie să verificăm toate unghiurile și toate laturile.

E suficient să verificăm unul dintre următoarele cazuri:

4. Proprietăți importante

Dacă raportul de asemănare a două triunghiuri este $k$, atunci:

• Raportul perimetrelor este egal cu $k$.

• Raportul înălțimilor, medianelor sau bisectoarelor corespondente este egal cu $k$.

• Atenție! Raportul ariilor este egal cu k2.

5. Diferența dintre Thales și TFA

• Thales: Îl folosim când lucrăm doar cu fragmentele de pe laturile tăiate (DBAD​=ECAE​).

• Thales nu implică latura paralelă ($BC$ sau $DE$).

• TFA (Asemănare): O folosim când trebuie să calculăm sau să folosim laturile paralele (ABAD​=BCDE​).
• Aici folosim mereu latura mică supra latura mare.
  

  ---

  TEMA

  Problema 1: 

   În triunghiul $ABC$, se duce dreapta $DE\parallel BC$, unde $D\in AB$ și $E\in AC$. Se cunosc următoarele lungimi:

  • $AD=6$ cm
  • $DB=9$ cm
  • $BC=20$ cm

  Cerințe:

  a) Demonstrează că $△ADE\sim △ABC$.

• b) Calculează lungimea segmentului DE
•  Problema 2:
•  În triunghiul$ABC$ se consideră punctele $D \in AB$ și $E \in AC$ astfel încât $DE \parallel BC$
• Se cunosc laturile triunghiului ABC $AB=15$cm,$BC=21$cm și $AC=18$cm 
  Dacă perimetrul triunghiului „mic” ($ADE$) este de $18$ cm, determină:
• a) Raportul de asemănare dintre $\triangle ADE$ și $\triangle ABC$.
• b) Lungimile laturilor $AD$, $AE$ și $DE$

• Problema 3

  Se consideră triunghiul $ABC$ cu aria de $180$ cm². Punctul $M$ se află pe latura $AB$ astfel încât

  $\frac{AM}{MB} = \frac{1}{2}$, iar punctul $N$ se află pe latura $AC$ astfel încât $\frac{AN}{AC} = \frac{1}{3}$.

  a) Demonstrează că $MN \parallel BC$

• .b) Calculează aria trapezului $BMNC$.
  

  Problema 4: 

  Fie triunghiul $ABC$ cu înălțimea $AD \perp BC$, $D \in BC$. Lungimea înălțimii $AD$ este de $20$ cm.

• Se duce o dreaptă paralelă cu $BC$ care intersectează laturile $AB$ și $AC$ în punctele $M$, respectiv $N$,

• și înălțimea $AD$ în punctul $H$.

  La ce distanță de vârful $A$ se află punctul $H$ ,

• astfel încât aria trapezului $BMNC$ să fie de 3 ori mai mare decât aria triunghiului $AMN$?

• Problema 5: 

  Fie $ABCD$ un trapez isoscel cu $AB \parallel CD$, $AB < CD$. Se cunosc bazele $AB = 12$ cm, $CD = 18$ cm

• și lungimea diagonalei $AC = 25$ cm. Diagonalele se intersectează în punctul $O$.

• Prin punctul $O$ se duce o paralelă la baze care intersectează laturile neparalele $AD$ și $BC$

• în punctele $M$, respectiv $N$.

  a) Calculează lungimile segmentelor $AO$ și $OC$.

  • ---

    Problema 6

     Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $M\in AB$, $N\in AC$ astfel încât $\angle AMN\equiv \angle ACB$. Demonstrează că

    are loc egalitatea:

    $AM \cdot AB = AN \cdot AC$

     

    Problema 7

    Se consideră triunghiul oarecare $ABC$. Pe latura $AC$ se ia punctul $D$,

    astfel încât unghiul $\angle ADB$ să fie congruent cu unghiul $\angle ABC$.

    Demonstrează că are loc relația:

    $AB^2 = AD \cdot AC$

    Problema 8

    Se consideră triunghiurile $ABC$ și $DEF$ cu următoarele dimensiuni:

    • În $\triangle ABC$: $AB = 6$ cm, $BC = 9$ cm, $AC = 12$ cm și $m(\angle A) = 100^{\circ}$.

    • În $\triangle DEF$: $DE = 8$ cm, $EF = 6$ cm, $DF = 4$ cm și $m(\angle E) = 50^{\circ}$.

    • Determină măsurile tuturor unghiurilor pentru ambele triunghiuri.

    ---

    Problema 9 

    Se consideră triunghiul $ABC$ cu laturile $AB = 12$ cm și $AC = 18$ cm.

    Pe latura $AC$ se fixează punctul $M$ astfel încât

    $AM = 8$ cm, iar pe latura $AB$ se fixează punctul $N$ astfel încât $AN = 12$ cm. Știind că baza $BC = 21$ cm:

    a) Demonstrează că $\triangle AMN \sim \triangle ABC$.

  • b) Calculează lungimea segmentului $MN$.
    

    Problema 10

    Se consideră trapezul dreptunghic $ABCD$ cu

  • $AB \parallel CD$ și $AD \perp AB$ (deci $m(\angle A) = m(\angle D) = 90^\circ$).

  • Diagonalele se intersectează în punctul $O$. Se duce $MO \parallel AB$, unde $M \in AD$.

    Demonstrează că $\triangle MAB \sim \triangle MDC$.