1)Se consideră polinomul:
Calculați suma coeficienților polinomului $f$.
2)Se consideră polinomul:
unde $m$ este un număr real.
Să se determine $m \in \mathbb{R}$ astfel încât termenul liber al polinomului să fie egal cu 17.
3)Se consideră polinomul:
Determinați coeficientul dominant al polinomului $f$.
4)Se consideră polinoamele $f, g \in \mathbb{R}[X]$ definite prin:
Determinați numerele reale $a$ și $b$ știind că polinoamele $f$ și $g$ sunt egale.
5)Se consideră polinomul $f \in \mathbb{R}[X]$ definit prin:
6)Se consideră polinoamele $f, g \in \mathbb{R}[X]$:
a)Determinați gradul polinomului $f$ și gradul lui $g$.
b)Determinați gradul sumei $f + g$.
c)Determinați gradul diferenței $f – g$.
d)Determinați gradul produsului $f \cdot g$.
e)Determinați gradul câtului împărțirii lui $g$ la $f$.
7)Se consideră polinomul $f \in \mathbb{R}[X]$:
unde $m$ este un parametru real.
Determinați gradul polinomului $f$ în funcție de valorile parametrului real $m$.
8)Se consideră polinoamele $f, g \in \mathbb{R}[X]$:
Determinați câtul $Q$ și restul $R$ ale împărțirii lui $f$ la $g$.
9)Se consideră polinoamele:
Determinați câtul $Q$ și restul $R$ ale împărțirii lui $f$ la $g$.
10)Se consideră polinomul:
Determinați câtul $Q$ și restul $R$ ale împărțirii lui $f$ la $g$.
11)Se consideră polinomul $f \in \mathbb{R}[X]$ definit prin:
Determinați restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X +1$.
12)Se consideră polinomul $f = X^3 + aX^2 – 4X + 3$, unde $a$ este un număr real.
Determinați valoarea lui $a$, știind că restul împărțirii polinomului $f$ la $g = X – 3$ este egal cu 24
13)Se consideră un polinom $f \in \mathbb{R}[X]$. Știm că restul împărțirii lui $f$ la $X-1$ este 5, iar restul împărțirii lui $f$ la $X-2$ este 7.
Determinați restul împărțirii lui $f$ la $g = X^2 – 3X + 2$.
14)Se consideră polinomul $f = 2X^4 + aX^3 + bX^2 + 5X – 1$, cu $a, b \in \mathbb{R}$. Determinați valorile lui $a$ și $b$ astfel încât restul împărțirii lui $f$ la $g = 2X^2 – X – 1$ să fie egal cu $2X + 3$.
15)Se consideră polinomul $f = X^{20} – 2X^2 + 5$.
Determinați restul împărțirii polinomului $f$ la $g = (X + 1)^2$.
16)Se consideră polinomul $f = 4X^3 + 8X^2 + X – 1$.
Demonstrați că polinomul $f$ este divizibil cu $g = 2X + 1$.
17)Se consideră polinomul $f = X^4 – 2X^3 + 2X – 1$.
Demonstrați că polinomul $f$ este divizibil cu $(X – 1)^2$.
18)Se consideră polinomul $f = X^4 + aX^3 + X^2 + 6X + b – 3$, unde $a, b \in \mathbb{R}$.
Determinați valorile parametrilor $a$ și $b$, știind că polinomul $f$ este divizibil cu $g = X^2 + 2X$
19)Se consideră polinoamele:
$f = X^3 + aX^2 + X + 1$
$g = X^2 + bX + 1$
Determinați $a, b \in \mathbb{R}$ astfel încât $f$ să fie divizibil cu $g$.
20)Se consideră polinomul $f = -2X^3 + X^2 + X + 1$.
Demonstrați că polinomul $f$ nu are rădăcini raționale
21)Se consideră polinomul $f = X^3 + aX^2 + bX + 2$, unde $a, b \in \mathbb{Q}$. Determinați $a$ și $b$, știind că $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ este rădăcină a polinomului.
22)Se consideră polinomul $f = X^4 – 3X^3 + 2X^2 + 2X – 4$. Aflați toate rădăcinile lui $f$, știind că $x_1 = 1 + i$ este o rădăcină.
23)Se consideră polinomul (funcția polinomială) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$:
Demonstrați că polinomul $f$ are o singură rădăcină reală $x_0 \in \mathbb{R}$.
24)Se consideră polinomul $f = X^4 + X^2 + 4X + 6$.
Demonstrați că polinomul $f$ nu are nicio rădăcină reală.
25)Se consideră polinomul $f = X^3 – 3aX^2 + 4$, unde $a \in \mathbb{R}, a \neq 0$. Determinați $a$ astfel încât polinomul să aibă două rădăcini egale.
26)Se consideră polinomul $f = X^2 – 4X + 2$. Fie $x_1, x_2$ rădăcinile acestuia.
Calculați:
$S_{1} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$
$S_{2} = x_1^2 + x_2^2$
$S_{3} = x_1^3 + x_2^3$
27)Se consideră polinomul $f = X^3 – 2X^2 + 5X – 3$.
Fie $x_1, x_2, x_3$ rădăcinile acestuia. Calculați:
$S_2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$
$S_3 = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3$
28)Se consideră polinomul $f \in \mathbb{R}[X]$, $f = 2X^3 – 4X^2 + mX – 1$, unde $m \in \mathbb{R}$.
Fie $x_1, x_2, x_3$ rădăcinile sale.
Determinați parametrul $m$ știind că:
$(1-x_1^2)(1-x_2^2)(1-x_3^2) = \frac{9}{4}$29)Se consideră polinomul $f = X^3 – 6X^2 + mX – 2$, unde $m \in \mathbb{R}$. Determinați parametrul $m$ și rădăcinile $x_1, x_2, x_3$, știind că acestea sunt în progresie aritmetică.30)Se consideră polinomul $f = X^3 + mX^2 + 14X – 8$, unde $m \in \mathbb{R}$. Determinați parametrul $m$ și rădăcinile $x_1, x_2, x_3$, știind că acestea sunt în progresie geometrică.31)Descompuneți în factori ireductibili peste $\mathbb{Z}[X]$ polinomul:$$P(X) = X^3 – 6X^2 + 11X – 6$$32)Arătați că polinomul $f = X^3 – 2$ este ireductibil în $\mathbb{Q}[X]$, dar este reductibil în $\mathbb{R}[X]$33)Se consideră polinomul $P(X) = X^4 + 1$.Descompuneți polinomul în produs de polinoame ireductibile peste $\mathbb{C}$.
Descompuneți polinomul în produs de polinoame ireductibile peste $\mathbb{R}$
34)Rezolvați ecuațiile
$$2x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = 0$$$$x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 4x + 1 = 0$$$$x^4 – 5x^2 + 4 = 0$$$$x^4 + 3x^2 – 4 = 0$$$$x^3 + 8 = 0$$$$x^4 + 16 = 0$$