Simulare 1
SUBIECTUL I
5p 1. Determinați numărul elementelor mulțimii $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |2x – 1| \le 5\}$.
5p 2. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 – 4x + m$. Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care vârful parabolei asociate funcției are ordonata egală cu $1$.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(x^2 – 1) = \log_2(3x + 3)$.
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu $12$.
5p 5. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ și $C(m, 1)$. Determinați $m \in \mathbb{R}$ astfel încât vectorii $\vec{AB}$ și $\vec{AC}$ să fie perpendiculari.
5p 6. Arătați că $\sin(x + \frac{\pi}{6}) – \cos(x + \frac{\pi}{3}) =\sqrt{3}\sin x$, pentru orice număr real $x$.
SUBIECTUL al II-lea
1. Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x \in \mathbb{R}$.
5p a) Arătați că $\det(A(1)) = 1$.
5p b) Demonstrați că $A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
5p c) Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(1) \cdot A(2) \cdot \dots \cdot A(10) = A(n^2 + 10)$.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \ast y = xy – 4x – 4y + 20$.
5p a) Arătați că $x \ast y = (x-4)(y-4) + 4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.
5p c) Calculați valoarea expresiei $E = 1 \ast 2 \ast 3 \ast \dots \ast 2026$
SUBIECTUL al III-lea
1. Se consideră funcția $f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 – 8 \ln x$.
5p a) Arătați că $f'(x) = \frac{2(x-2)(x+2)}{x}, x \in (0, \infty)$.
5p b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.
5p c) Demonstrați că pentru orice $x \in (0, \infty)$, $x^2 \ge 8 \ln x + 4 – 8 \ln 2$.
2) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{e^x + 1}$.
5p a) Să se arate că $\int_0^1 (e^x + 1) f(x) \, dx = 1$.
5p b) Să se calculeze $\int_0^1 f(x) \, dx$.
5p c) Să se demonstreze că orice primitivă $F$ a funcției $f$ este concavă pe $\mathbb{R}$.
SIMULARE 2
SUBIECTUL I
1)Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că următoarele două numere complexe sunt egale:
2)Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (m-1)x^2 + 4x + m + 2$.
Determinați valorile parametrului real $m$ astfel încât graficul funcției să nu taie axa $Ox$.
3)Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația:
6)Se consideră $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ astfel încât $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.
Să se calculeze $\sin 2\alpha$
SUBIECTUL al II-lea
1)Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 1-x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x \in \mathbb{R}$.
a) Să se calculeze $\det(A(-1))$.
b) Se consideră $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Să se rezolve ecuația $A(x)^2 = B$.
c) Să se determine $x \in \mathbb{R}$ astfel încât $A(x) = A(x)^{-1}$.
2)Se consideră polinomul $f = X^3 – 3X^2 + aX – 1$, unde $a \in \mathbb{R}$ este un parametru real, iar $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}$ sunt rădăcinile sale.
a) Pentru $a = -1$, determinați restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = 2X – 1$.
b) Determinați valoarea parametrului real $a$, știind că $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3) = -2$.
c) Pentru $a = 5$ , demonstrați că polinomul $f$ are o singură rădăcină reală.
Subiectul III
1)Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to (0, \infty)$ , $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 1}$.
a) Să se calculeze $f'(x)$, $x \in \mathbb{R}$.
b) Să se demonstreze că funcția $f$ este bijectivă.
c) Să se calculeze $(f^{-1})'(1)$, unde $f^{-1}$ este inversa funcției $f$.
2Se consideră funcția $f : [0, 2] \to \mathbb{R}$, definită prin:
a) Să se demonstreze că funcția $f$ este integrabilă pe intervalul $[0, 2]$.
b) Să se calculeze $\int_0^2 f(x) \, dx$.
c) Să se calculeze limita: