Fișă de Teorie 

                 Ce este un șir de tip  Gauss?

Un șir de numere se numește șir Gauss   dacă diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este mereu aceeași.

Această diferență constantă se numește pasul șirului .

• Șirul poate fi format din numere consecutive (din 1 în 1): $1, 2, 3, 4, \dots$

• Poate crește din 2 în 2: $3, 5, 7, 9, 11, \dots$

• Poate crește din 3 în 3: $4, 7, 10, 13, \dots$

• Foarte important: Un șir Gauss nu este obligatoriu să înceapă cu numărul 1! El poate începe cu orice număr natural.

1. Cum determinăm numărul de termeni dintr-un șir Gauss?

Dacă analizăm termenii unui șir Gauss, observăm că  al doilea termen este primul termen plus un pas.Al treilșea termen este primul termen plus 2 pași, al patrulea termen  este primul termen plus 3 pași. Putem deduce că dacă ultimul termen se scrie ca primul termen plus  x pași în tot șirul vor fi x+1 termeni.

Exemplu Dacă avem șirul $ 2,5,8,11……..74$ se observă că $5=2+1×3$ , $8=2+2×3$, $11=2+3×3$, ultimul termen este $74=2+24×3$.Rezultă ca șirul are 25 de termeni.

Tot de aici se poate deduce si formula

2. Cum determinăm formula de calcul a sumei? 

Legenda spune că micul Gauss, pe când era elev, a descoperit această metodă genială scriind suma o dată în ordine crescătoare, iar dedesubt în ordine descrescătoare.

Să luăm șirul de la exemplu anterior și să calculăm suma termenilor lui.Dacă  notăm suma cu $S$ obținem $ S=2+5+8+11+74$.

Tot $S=74+71+68+65+……+2$.Dacă adunăm cele 2 egalități obținem

$2S=76+76+76+….+76$.Cum erau 25 de termeni obținem $2S=25×76.$Vom ajunge la $S=(25×76):2$

Formula generală va fi

Exemplul 1: Suma termenilor unui șir de numere consecutive

Calculați suma: $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 50$

1. Numărul de termeni: $(50 – 1) : 1 + 1 = 50$ termeni.

2. Aplicăm formula sumei:

   $$S = \frac{(1 + 50) \times 50}{2} = \frac{51 \times 50}{2} = 51 \times 25 = 1275$$

Exemplul 2: Șir care nu începe cu 1 și are pasul din 3 în 3

Calculați suma: $S = 4 + 7 + 10 + \dots + 61$

1. Verificăm pasul: $7 – 4 = 3$, $10 – 7 = 3$ (pasul este 3).

2. Numărul de termeni: $(61 – 4) : 3 + 1 = 57 : 3 + 1 = 19 + 1 = 20$ termeni.

3. Aplicăm formula sumei:

   $$S = \frac{(4 + 61) \times 20}{2} = \frac{65 \times 20}{2} = 65 \times 10 = 650$$

Exemplul 3: Șir cu pasul din 2 în 2

Calculați suma: $S = 2 + 4 + 6 + \dots + 100$

1. Numărul de termeni: $(100 – 2) : 2 + 1 = 98 : 2 + 1 = 49 + 1 = 50$ termeni.

2. Aplicăm formula sumei:

   $$S = \frac{(2 + 100) \times 50}{2} = \frac{102 \times 50}{2} = 102 \times 25 = 2550$$

Exemplul 4

 În acest caz, putem da factor comun pentru a transforma exercițiul într-o sumă Gauss simplă.

Calculați: $A = 3 + 6 + 9 + \dots + 30$

1. Observăm că toți termenii se împart la 3. Îl dăm pe 3 factor comun:

   $$A = 3 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 10)$$

2. Calculăm suma din paranteză (care este un șir Gauss de la 1 la 10):

   $$\text{Suma din paranteză} = \frac{(1 + 10) \times 10}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = 55$$

3. Înmulțim rezultatul cu factorul comun :

   $$A = 3 \times 55 = 165$$