Page 2 - Bac Mate

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul n = log 3 ( 7 − ) 2 + log 3 ( 7 + ) 2 este natural.

5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f ℝ → ℝ , ( ) 2f x = x − 1
:
2
g
și :g ℝ → ℝ , ( ) x = x + 6x + 3.
3
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( x + ) 2 3 = (2 x− ) .
}
5p 4. Calculați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elemente ale mulțimii {0,2,4,6,8 .

5p 5. Punctele M , N și P verifică relația 2MN + 3NP = . Calculați lungimea segmentului MP ,
0
3
știind că MN = .
5p 6. Arătaţi că sin x + sin (π − x ) sin+ (π + x ) sin 2π+ ( − x ) 0= , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
 x y 1 

)
1. Se consideră matricea ( ,A x y =   1 x y , unde x și y sunt numere reale.

 
 x 1 y 
(
5p a) Arătați că det A (2,3 )) 12= .
( ( 2 ))
,
0
5p b) Demonstrați că det A n n ≥ , pentru orice număr natural n .
5p c) Determinaţi numărul real x pentru care inversa matricei B = A ( ,0x ) ( ,0A x⋅ ) este matricea
A ( ,0x ) .
2. Se consideră polinomul f = nX + X − nX − 1, unde n este număr natural, n ≥ .
2
n
3
5p a) Arătați că ( ) 1f = 0 , pentru orice număr natural n , n ≥ .
3
2
5p b) Arătați că, dacă n este număr natural impar, n ≥ , atunci polinomul f este divizibil cu X − 1.
3
−
5p c) Arătați că, pentru orice număr natural n , n ≥ , polinomul f nu are rădăcini în mulțimea ℚ ℤ .
5
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f ℝ → ℝ , ( ) arctgf x = x x− .
2
x
5p a) Arătați că ( ) x = − , x∈ℝ .
' f
x + 1
2
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .
π
5p c) Demonstrați că ( ) x + g ( ) x = , pentru orice număr real x , unde :g ℝ → ℝ , ( ) arcctgg x = x x+ .
f
2
2. Se consideră funcţia :f ℝ → ℝ , ( ) x = e − x 2 .
f
1 e − 1
∫
5p a) Arătaţi că ( ) x dx = .
f
e
0
)
5p b) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei f este concavă pe (0,+∞ .
1
n ∫
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul I = f ( ) x dx . Demonstrați că şirul
1
n
( ) este convergent.
I
n
n≥ 1
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1