Page 50 - Bac Mate

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați primul termen al progresiei geometrice ( ) , știind că b = 48 și b = 384 .
b
8
5
n n≥
1

2
5p 2. Se consideră funcția f ℝ → ℝ , ( ) x = x − 7x + . Determinați distanța dintre punctele de
f
:
6
intersecție a graficului funcției f cu axa Ox .

x
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 32 = 16 2⋅ x .
}
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr natural n din mulțimea {1, 2, 3, 4, 5 , acesta să
2
verifice egalitatea n − 5n + 6 0= .

5p 5. Determinați numărul real a , știind că vectorii u = (a + 1 i − ) 1 j și v = 6i + 2 j sunt coliniari.
) (a+

5p 6. Arătați că (2sin x + cos ) x 2 + (sin x + 2cos ) x 2 − 4sin2x = , pentru orice număr real x .
5
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
 1 2  0 x
1. Se consideră matricele A =   și B =   , unde x și y sunt numere reale.
 4 1   y 0 
( )
5p a) Arătați că det 2A = − 28 .
 1 0
5p b) Determinați numerele reale x și y , știind că A + 2B = I , unde I =   .
2
2
 0 1 
5p c) Dacă AB = BA , arătați că det B ≤ .
0
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = 3xy + 3x + 3y + .
2
5p a) Arătați că ( ) 1 1− = − 1.
5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x x = x .
)
5p c) Determinați perechile ( ,a b de numerele întregi, știind că a b = 8.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
x
1. Se consideră funcţia f ℝ → ℝ , ( ) ( x= − ) 2 e .
:
f x
x
5p a) Arătați că ( ) (x= − ) 1 e , x∈ℝ .
' f
x
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f .
' f
1
5p c) Demonstrați că ( ) x ≥ − , pentru orice număr real x .
2
)
f
2. Se consideră funcţia f ( : 0,+∞ → ℝ , ( ) x = 2x + 1 .
x
2  1 
5p a) Arătați că  ∫ f ( ) x −  dx = 3 .
1  x 
)
2
5p b) Demonstrați că funcția F ( : 0,+∞ → ℝ , ( ) x = x + ln x + 2016 este o primitivă a funcţiei f .
F
5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției
[ ] 2 → ℝ , ( ) x =
g : 1, g f ( ) x este mai mic decât 14π .

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1