Page 12 - Bac Mate

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
· Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
· Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
b
5p 1. Determinați produsul primilor trei termeni ai progresiei geometrice ( ) , ştiind că b = .
4
2
n
1
n³
2
5p 2. Se consideră funcțiile , :f g ℝ ® ℝ , ( ) ( 1f x = x - și - x . Calculați ( 1g f () ) .
) ( ) 2018g x =
2
x
x
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 25 = 5 .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifra zecilor egală cu 9 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație ( a - 1 ) x a y a- 2 - 2 0 =, unde a este
număr real nenul. Determinați numărul real nenul a , știind că dreapta d este paralelă cu axa Ox .
5 1  p
5p 6. Arătaţi că tg x + ctg x = , știind că sin x = și xÎ  0,  .
2 5  2 
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
 1 0  x + 2 x 
1. Se consideră matricele I =   și ( ) =   , unde x este număr real.
A x
2
 0 1   1 - 2 
5p a) Arătați că det ( 1A () ) = - .
7
( ) yA x-
5p b) Demonstrați că xA y ( ) ( x= - y A 0
) ( ) , pentru orice numere reale x și y .
=
1
7 I .
5p c) Determinați numerele reale a , știind că ( aA ( ) A a- + ( )( )( a 2 + ) 2
) 0A
2. Se consideră polinomul f = 4X 3 - 6X + , unde m este număr real.
m
5p a) Pentru m = , arătați că () 0f 1 = .
2
2
5p b) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real m , polinomul f nu se divide cu polinomul X + X 1 + .
 1 1 1  2 1 1 1
5p c) Determinați numărul real nenul m , știind că  + +  = × ×, unde x , x și x sunt
3
2
1
 x 1 x 2 x 3  x 1 x 2 x 3
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
ln x 1
1. Se consideră funcţia : 0,f ( +¥ )® ℝ , ( )1f x = - - .
x x
ln x
)
x
5p a) Arătaţi că ( ) = , xÎ ( 0,+¥ .
' f
x 2
1
5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = , situat pe graficul
funcției f .
ln x 1
)
5p c) Demonstrați că £ 1 - , pentru orice xÎ ( 0,+¥ .
2 x x
2
)
2. Se consideră funcţia :f ( 1,- +¥ ®ℝ , ( )3f x = x + 1 .
x + 1
2
∫
5p a) Arătați că ( x + 1 ) ( ) 22f x dx = .
0
1 1  3

∫
x
5p b) Calculați  f x  e dx .
( ) -
0  x + 1
5p c) Determinați numărul natural nenul n , știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei
2 p
g x
: 0,1
Ox a graficului funcției [ ] ® ℝ , ( ) f x= ( ) 3x- este egal cu .
g
n

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1