Page 20 - Bac Mate

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe z = 2 3i+ și z = 4 6i− . Arătați că numărul z z + 2z + z este
1 2 1 2 1 2
real.
2
5p 2. Calculați ( f g )( ) 0 , unde :f ℝ → ℝ , ( ) 2f x = x − 1 și :g ℝ → ℝ , ( ) x = x + + 1.
g
x
)
2
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 5 ( x − 4 = log 5 (5x − ) 8 .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie multiplu de 7.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație y = 3x − 2017 și punctul ( ) .
1,0
A
Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d .
 π   π 
0
5p 6. Arătaţi că sin  + x  sin x + cos  + x  cos x = , pentru orice număr real x .
 2   2 
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
 x 0 0  0 0 x


1. Se consideră matricele ( ) x =   0 x 0 și ( ) x =   0 x 0 , unde x este număr real.
A
B


   
 0 0 1   2 0 0 
2
det
5p a) Calculați ( A ( )) .
(
( ) B+
5p b) Demonstrați că det A x ( )) detx = (B x
( )) , pentru orice număr real x .
5p c) Determinaţi numerele naturale n și p , știind că ( ) ( ) p = B ( ) 3 .
A n B
3
2
2. Se consideră polinomul f = X + aX + 8X + , unde a este număr real.
3
5p a) Determinați numărul real a , știind că ( ) 1f = 0 .
2
5p b) Pentru a = , determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X + 5X + .
3
6
5p c) Demonstrați că, dacă a∈ ( 4,4− ) , atunci polinomul f nu are toate rădăcinile reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f ℝ → ℝ , ( ) x = x 2018 + 2018x + .
2
f
)
5p a) Arătați că ( ) 2018f ' x = ( x 2017 + 1 , x∈ℝ .
5p b) Determinaţi numărul real a , știind că punctul ( ,2020A a ) aparține tangentei la graficul funcţiei
0
f care trece prin punctul de abscisă x = situat pe graficul funcţiei f .
5p c) Demonstrați că ecuația ( ) 0f x = are exact două soluții reale distincte.
1 x n
n ∫
2. Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul I = 2 dx .
0 x + 2x + 2
1
)
5p a) Calculați ( ∫ x + 2x + 2 dx .
2
0
2
5p b) Demonstrați că I n+ 1 + 2I + 2I n− 1 = 1 , pentru orice număr natural n , n ≥ .
n
n
1
5p c) Demonstrați că lim nI = .
n
n→+∞ 5

Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1