Page 21 - Bac Mate

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
· Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
· Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)

2 i+ 2 i- 6 2
5p 1. Arătați că + = , unde i = - 1.
2 i- 2 i+ 5
2
5p 2. Se consideră x și x soluțiile ecuației x - ( 2m + 3 ) x m+ 2 + 2 0+ =. Arătați că ( x - x 2 ) 1= ,
3m
1 2 1 2
pentru orice număr real m .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x - 3 5 x= - .
5p 4. Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma doar cu cifre pare.
5p 5. Se consideră triunghiul ABC și punctele M , N și P , mijloacele laturilor AB , BC , respectiv

AC . Demonstrați că BM + BN = BP .
 p 
5p 6. Determinaţi numerele reale x , știind că sin 2x = cos x și xÎ  2 ,p .



SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

 1 1 1  x + + z 1 =
y
  

2
1. Se consideră matricea ( ) 1A a =  a 3 și sistemul de ecuații x ay+ + 3z = , unde a este

  
 1 3 a   x + 3y az+ 2 =
număr real.
(
)
5p a) Arătați că det A a 1 + )( a - , pentru orice număr real a .
3
( ) ) ( a=
5p b) Determinați numerele reale m pentru care ( ) ( 2A m A - m ) A= ( 2 m A m- ) ( ) .
,
5p c) Determinați numerele întregi a pentru care sistemul are soluție unică ( ,x y z 0 ) , iar x , y și
0
0
0
0
z sunt numere întregi.
0
5xy
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y* = - 10x+ 10y+ 18-.
5p a) Arătați că x y* = 2 5- ( x - )( y 2- ) , pentru orice numere reale x și y .
2
5p b) Determinaţi numerele naturale n , ştiind că ( n n* ) n n* = .
9
2
5p c) Arătați că, dacă a a b* = și b b a* = , atunci a b= = sau a b= = .
5
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
x
f x
1. Se consideră funcţia :f ℝ ® ℝ , ( ) = .
2
x + 2x + 2
5p a) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
2x 1
( ) ) =
5p b) Arătați că lim ( f x .
x®+¥ e 2
f x
5p c) Demonstrați că pentru orice număr real a , ( 2, 1aÎ - - ) , ecuația ( ) a= are exact două soluții
reale distincte.

Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2