Page 25 - Bac Mate

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
· Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
· Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
z
5p 1. Se consideră numărul complex z = 2 i+ . Arătați că z + + zz 9 = , unde z este conjugatul lui z .
1,m
5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul ( ) aparține graficului funcției f ℝ ® ℝ ,
:
A
f x 2 + 2x - .
( ) x=
3
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( 1 log x- 2 )( 2 log x- 2 ) 0= .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților.
C
0,2
3,1
A
3,3
B
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( ) , ( ) și ( ) . Determinaţi lungimea
medianei din C a triunghiului ABC .
(
2
2
5p 6. Arătați că 1 tg x+ 2 ) cos x - ( 2 ) sin x =, pentru orice xÎ   0, p  .
1 ctg x+
0
 2 
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
 1 1 2  x + + 2z = 0
y
  
1. Se consideră matricea ( ) 1A a =  2 a și sistemul de ecuații  x + 2y az+ 0 = , unde a este

  
3z =
 - 2 1 - 3   - 2x - + 0
y
număr real.
5p a) Arătați că det ( 9A ( ) ) 0= .
5p b) Determinați valorile reale ale lui a pentru care sistemul are soluție unică.
5p c) Demonstrați că, dacă sistemul are soluția ( ,x y z ) , cu x , y și z numere reale nenule, atunci
,
0 0 0 0 0 0
- x + y 0 z + 0 = ( x 0 y + 0 z+ ) .
11
0
0
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = xy + 7x + 42
7y + .
5p a) Arătați că x y = ( x + 7 )( y + 7 ) 7-, pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați numerele reale x , știind că x x = x .
a
5p c) Determinați numărul real a , știind că 2017 ( )1- 6 = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
ln x
f x
1. Se consideră funcţia : 1,f ( +¥ )® ℝ , ( ) = .
1 x-
)
a) Arătaţi că ( ) = 1 x- + x ln x , xÎ ( 1,+¥ .
x
' f
5p 2
x ( 1 x- )
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +¥ la graficul funcției f .
)
5p c) Demonstrați că lnx x > x 1 - , pentru orice xÎ ( 1,+¥ .
2
2. Se consideră funcţia :f ℝ ® ℝ , ( ) e= x + 3x .
f x
1
dx e=
5p a) Arătați că ( ∫ f ( )3x - x 2 ) 1 -.
0
1 7
∫
( )
5p b) Arătaţi că x f x dx = .
0 4
5p c) Determinați numărul natural nenul n , pentru care suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei
x
0
n
g x
: g ℝ ® ℝ , ( ) f x= ( ) e- , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = și x = are aria egală cu
2
n - n 1 + .

Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1