Page 27 - Bac Mate

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)

2
5p 1. Se consideră numărul complex z = 1 i− . Arătați că z + 2i = .
0
x
x
f
5p 2. Calculați (g f )( ) 0 , unde :f ℝ → ℝ , ( ) x = + 2017 și :g ℝ → ℝ , ( ) x = − 2017 .
g
2
x − 3x x− 4
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 = 3 .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {1, 2, 3,… , 100 } , acesta să fie
pătrat perfect.
0,1
A
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul ( ) . Determinaţi ecuaţia dreptei d , care trece
prin punctul A şi este perpendiculară pe dreapta de ecuaţie y = − 10.
x
π
5p 6. Determinaţi aria triunghiului ABC , ştiind că AB = , AC = și A = .
4
6
6
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
 m − 1 − 1 
1. Se consideră matricea ( ) =   , unde m este număr real.
A m
 2 m − 2 

5p a) Calculați ( A ( )) .
0
det
5p b) Demonstrați că (1A + m ) A+ (1 m− ) 2A= ( ) 1 , pentru orice număr real m .
5p c) Demonstrați că matricea ( ) este inversabilă, pentru orice număr real m .
A m
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y∗ = − 3xy + 9x + 9y − 24.
5p a) Arătați că x y∗ = − ( 3 x − 3 )( y − ) 3 + , pentru orice numere reale x și y .
3
5p b) Demonstrați că legea de compoziție „∗” este asociativă.
5p c) Determinați numărul real x , pentru care (x x∗ ) x∗ = 12 .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
)
3
1. Se consideră funcţia : 0,f ( +∞ → ℝ , ( ) x = x − 3ln x .
f
)(
( 3 x − 1 x + + 1 )
2
x
)
5p a) Arătaţi că ( ) x = , x∈ (0,+∞ .
' f
x
5p b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcţiei f .
)
5p c) Demonstraţi că ( ) 1f x ≥ , pentru orice x∈ (0,+∞ .
2x + 3
f
2. Se consideră funcția :f ℝ → ℝ , ( ) x = .
2
x + 3x + 3
2
2
) ( ) x dx .
5p a) Calculați ( ∫ x + 3x + 3 f
1
5p b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații x = și
0
x = 3 are aria egală cu ln7 .
0
x f
0
5p c) Demonstrați că ∫ f ′ ( ) ( ) x dx = .
− 1

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1