Page 30 - Bac Mate

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
· Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
· Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
a
4
7
5p 1. Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice ( ) , ştiind că a = și a = .
2
n
1
1
n³
2
5p 2. Se consideră x și x soluțiile ecuației x - 4x + 1 0= . Arătați că 4x x - ( x + x 2 ) 0= .
1 2
1
2
1
1
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2x+ 1 = .
8
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie multiplu de 15.
0,1
3,a
C
B
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( ) , ( ) și ( ) , unde a este număr
1,1
A
real. Determinați numărul real a , știind că punctele A, B și C sunt coliniare.
3
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 4 3 , AC = și sinC = . Calculați sin B .
4
2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
 0 x
1. Se consideră matricea ( ) =   , unde x este număr real.
A x
 x 0 
5p a) Arătați că det ( 1A () ) = -
1.
 1 0
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) xyI= 2 , pentru orice numere reale x și y , unde I =   .
A x A y
2
 0 1 
a
a+
1
2 +
a
5p c) Determinați numărul real a , știind că A ( ) ( ) ( ) = A ( ) .
27
A
3
A
3
3
2. Se consideră polinomul f = X 3 + mX 2 + 4
2X -, unde m este număr real.
5p a) Pentru m = 1, arătați că () 0f 1 = .
3
2
5p b) Arătați că, dacă polinomul f se divide cu X + , atunci restul împărțirii lui f la X + este egal
cu 1- .
1 1 1 1
5p c) Determinați numărul real m , știind că + + x + 1 x + 2 x+ 3 =, unde x , x și x sunt
1
3
2
x 1 x 2 x 3 2
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
x + 2017
1. Se consideră funcţia :f ℝ ® ℝ , ( ) = x .
f x
e
- ( x + 2016 )
' f
5p a) Arătaţi că ( ) = , xÎℝ .
x
e x
5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = , situat pe graficul
0
funcției f .
5p c) Demonstrați că funcția f este convexă pe [ 2015,- +¥ ) .
1
f x
2. Se consideră funcţia :f ℝ ® ℝ , ( ) = .
2
x + 1
1 1 4
5p a) Arătați că ∫ ( )
dx = .
0 f x 3
p
1
5p b) Determinați primitiva F a funcţiei f , știind că ( ) = 1 + .
F
4
n
∫
( )
5p c) Determinați numărul natural n , știind că x f x dx = 1 ln5 .
0 2

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1